Question

已知

m

=(cos?x，sin?x)，

n

=(cos?x，2

3

cos?x-sin?x)，?＞0，函数f(x)=

m

•

n

+|

m

|，x₁，x₂是集合M={x|f（x）=1}中任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（1）求?的值．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边．f(A)=2，c=2，S△ABC=

3

2

，求a的值．

Answer 1

（1）由题意可知：f(x)=

m

•

n

+|

m

|
=cos²?x+2

3

sin?xcos?x-sin²?x+1
=cos2?x+

3

sin2?x+1
=2sin（2?x+

π

6

）+1，
又x₁，x₂是集合M={x|f（x）=1}中任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，
所以函数f（x）的半周期为

π

2

，即

2π

2?

=

π

2

×2，解得?=1
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，进而可得2sin（2C+

π

6

）+1=2，
化简得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，解得C=

π

3

，
由余弦定理可得22=a2+b2-2abcos

π

3

=（a+b）²-3ab，
由S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

3

2

，可得ab=2，
综合上面两式可得a+b=

10

，ab=2，故ab为方程x2-

10

x+2=0的根，
解得a=

10 + 2

2

，或

10 - 2

2