Question

已知数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N），其前n项和为S_n，且S₁=2，当n≥2时，S_n=2a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．   （2）若b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n≥3时，有：a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，得a_n=2a_n-1．故该数列从第2项起为公比q=2的等比数列，取n=1和2，得到首项a₁和第二项a₂，最后综合可得数列{a_n}的通项公式．
（2）对a_n的各项取以2为底的对数，得到b_n的表达式从第二期起成等差数列，再用等差数列求和的公式即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2；
当n=2时，有a₁+a₂=2a₂，得a₂=2；
当n≥3时，有：a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
得a_n=2a_n-1．
故该数列从第2项起为公比q=2的等比数列，
故an=

2，( n=1 ) 2n-1  ( n≥2  n∈N ).

（2）由（1）知    bn=

1        ( n=1 ) n-1    ( n≥2  n∈N ).

故数列{b_n}的前n项和 Tn=

1      ，( n=1 ) n(n-1) 2 +1    ( n≥2 n∈N )

点评：本题着重考查了函数与数列的关系、等差数列与等比数列的关系等知识点，属于中档题．注意：各项为正的等比数列，取了对数之后变成一个等差数列．