Question

自然数平方和公式的推导．

Answer 1

答案：
解析：

导思：探究时我们可直接相加，但有可能出现问题．我们可从失败中吸取教训，不能气馁，继续探究，找到一点有用的信息反复尝试探究，培养自己坚忍不拔的意志，勇于探索． 　　探究：尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和． 　　(1)把自然数的平方表示出来， 　　12＝1 　　22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1 　　32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1 　　42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1 　　…… 　　n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1 　　左右两边分别相加得． 　　S2(n)＝[S2(n)－n2]＋[2S1(n)－2n]＋n． 　　等式两边的S2(n)被消去了，无法从中求出S2(n)的值，尝试失败了！ 　　(2)从失败中汲取有用信息进行新的尝试． 　　前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出S2(n)，却求出了S1(n)的表达式，即S1(n)＝，它启示我们，既然能用上面的方法求出S1(n)，那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n)． 　　(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式． 　　具体方法如下： 　　13＝1 　　23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1 　　33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1 　　43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1 　　…… 　　n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1 　　左右两边分别相加得 　　S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n． 　　∴S2(n)＝． 　　终于导出了公式．