Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥侧面A₁ABB₁。

（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明。

Answer 1

解：（1）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D， 则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B， 得AD⊥平面A1BC， 又BC平面A1BC， 所以AD⊥BC 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC 又AA1∩AD=A， 从而BC⊥侧面A1ABB1， 又AB侧面A1ABB1， 故AB⊥BC。 （2）连接CD，则由（1）知是直线AC与平面A1BC所成的角， 是二面角A1-BC-A的平面角， 即 于是在Rt△ADC中， 在Rt△ADB中， 由AB＜AC，得 又 所以。