Question

已知函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间及极值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的图象关于原点成中心对称，知f（x）是奇函数，再由其定义利用待定系数法求解．
（2）由（1）得f（x）=x³-48x，因为是高次函数，所以选用导数法，先求，再分别由导数大于零和小于零求解

解答：解：（1）∵函数f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
得-ax³+（a-1）x²-48（a-2）x+b=-ax³-（a-1）x²-48（a-2）x-b，
于是2（a-1）x²+2b=0恒成立，
∴

a-1=0 b=0

，解得a=1，b=0；

（2）由（1）得f（x）=x³-48x，
∴f'（x）=3x²-48=3（x+4）（x-4），
令f′（x）=0，得x₁=-4，x₂=4，
令f′（x）＜0，得-4＜x＜4，令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞4．
∴f（x）的递减区间为[-4，4]，递增区间为（-∞，-4）和（4，+∞），
∴f（x）_极大=f（-4）=128，f（x）_极小=f（4）=-128．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性以及导数在研究函数的单调性、极值等方面的应用．