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    如图2-5-12,已知AB是⊙O的直径,CA交弦BF延长线于E,DE⊥AC于E,CB交⊙O于D且AB=AC,求证:AE·EC=BE·EF.

    图2-5-12

    证明:连结OD、AD,∵AB是⊙O的直径,

    ∴∠ADB=90°.∴AD=BC.

    ∵AB=AC,∴BD=DC.

    ∵BO=OA,∴OD∥AC.

    ∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.

    ∴DE是⊙O切线,∴DE2=EF·EB.①

    在Rt△ACD中,DE⊥AC,

    ∴DE2=AE·EC.②

    ∴由①②得AE·EC=BE·EF.

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    图2-5-6

    （1）求证:△PBD∽△PEC;

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    图2-5-9

    （1）求证：△PBD∽△PEC;

    （2）若AB=12，tan∠EAF=,求⊙O的半径.

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