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    已知x为任意实数，则
    3x
    +
    31-x
     的取值范围为
     
    ．
    分析：设
    3x
    =a，
    31-x
    =b，则
    3x
    +
    31-x
    =t，利用a+b=t；ab=ab=
    t3-1
    3t
    ，构造方程y2-ty+
    t3-1
    3t
    =0，寻求方程有解的条件，从而求得函数的值域．
    解答：解：设
    3x
    =a，
    31-x
    =b，则
    3x
    +
    31-x
    =t，
    则有
    a+b=t
    a3+b3=1

    将第一式3次方后得a3+b3+3ab（a+b）=t3，
    ∴ab=
    t3-1
    3t
    ，这样a、b是关于y的方程y2-ty+
    t3-1
    3t
    =0的两根，
    其判别式△=t2-4×
    t3-1
    3t
    ≥0，
    ∵t＞0，
    ∴t3-4≤0，即0＜t≤
    34
    ．
    ∴只要0＜t≤
    34
    时，原方程有解．
    综上所述，
    3x
    +
    31-x
    的取值范围是（0，
    34
    ]．
    故答案是（0，
    34
    ]．
    点评：本题考查了函数值域的求法，考查了学生的逻辑推理能力与运算能力，解答本题的关键是构造方程，寻求方程有解的条件，从而求得函数的值域．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义域为R（实数集）的函数，f（x）中，f（0）=1
    且当n-1≤x＜n（n∈Z）时，f（x）=（x-n）•f（n-1）+f（n）
    （Ⅰ）求f（2）的值及当x∈[3，4）时，f（x）的表达式；
    （Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
    （Ⅲ）“定义：设g（x）为定义在D上的函数，若存在正数M，对任意x∈D都有|g（x）|≤M，则称函数g（x）为D上有界函数；否则，称函数g（x）为D上无界函数．”试证明f（x）为R上无界函数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知x+y=1，若不等式 
    1
    x
    +
    a
    y
    ≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为
    4
    4
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列四个结论：
    ①若α、β为锐角，tan（α+β）=-3，tanβ=
    1
    2
    ，则α+2β=
    3π
    4
    ；
    ②在△ABC中，若
    AB
    •
    BC
    ＞0    ，则△ABC一定是钝角三角形；
    ③已知双曲线
    x2
    4
    +
    y2
    m
    =1    ，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（-12，0）；
    ④当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是x2=
    4
    3
    y    ．其中所有正确结论的个数是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知m为任意实数，则直线y=x+m与y=-x-4的交点不可能在（　　）
    A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

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