Question

已知f^-1（x）为函数f（x）=（x≠-1）的反函数，S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，且f^-1（S_n+1）=S_n（n∈N^*）．
（I）求证：数列{}是等差数列；
（II）已知数列{b_n}满足b_n=||，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

证明：（I）函数f（x）的反函数为f^-1（x）=（x≠1）．
∵f^-1（S_n+1）=S_n（n∈N*），
∴S_n=，即，
∴数列{}是以1为公差，首项为1的等差数列．…（4分）
（II）由（I）知，，即S_n=．
∴当n=1时，a_n=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1==-，
即a_n= …（6分）
由题意得b_n=…（7分）
∴当n=1时，T_n=T₁=b₁=2．
当n≥2时，
T_n=2+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
2T_n=2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）•2ⁿ+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n-2T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+，
即-T_n=（2-n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+6，
经验证n=1时，T₁的值也符合此公式，
∴对n∈N*，T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+6． …（12分）
分析：（Ⅰ）先由函数f（x），求得反函数，再由f^-1（S_n+1）=S_n求得数列{}是以1为公差，首项为1的等差数列，由等差数列的定义得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可计算得S_n从而计算得到T_n=2+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，最后由错位相消法求和．
点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了等差数列的定义及通项公式，错位相消法求和等问题，属中档题，是常考类型．