Question

19．设函数f（x）=$\sqrt{3}+\frac{sinx}{1+cosx}$的所有正的零点从小到大依次为x₁，x₂，x₃，…，设α=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅，则sinα的值是（　　）

• A． 0
• B． -$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由条件可得sinx+cosx=-1，且1+cosx≠0，求得x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈z；从而求得α=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅的值；再利用诱导公式求得sinα的值．

解答 解：令函数f（x）=$\sqrt{3}+\frac{sinx}{1+cosx}$=0，求得2sin（x+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，且1+cosx≠0，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且1+cosx≠0，
∴x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈z．或x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈z．且x≠2kπ+π，k∈Z．
可得：x=2kπ+π，k∈Z（矛盾，舍去）或x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
由题意可得x₁ =$\frac{4π}{3}$，x₂ =2π+$\frac{4π}{3}$，x₃ =4π+$\frac{4π}{3}$…，x₂₀₁₅ =2014×2π+$\frac{4π}{3}$，
∴α=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅=（1+2+3+…+2014）2π+2015×$\frac{4π}{3}$，
∴sinα=sin（2015×$\frac{4π}{3}$）=sin（2686π+$\frac{2π}{3}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查函数零点的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．