Question

11．如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（2）（3）．
（1）A′C⊥BD；
（2）∠BA′C=90°；
（3）四面体A′-BCD的体积为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 折叠前AB⊥AD，折叠后CD⊥平面A'BD，取BD的中点O，推导出A'O⊥平面BCD，OC不垂直于BD．由此能求出结果．

解答 解：∵折叠前AB=AD=1，BD=$\sqrt{2}$，即AB⊥AD，
折叠后平面A'BD⊥平面BCD，且CD⊥BD，
故CD⊥平面A'BD，取BD的中点O，∵A'B=A'D，
∴A'O⊥BD．又平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD=BD，
∴A'O⊥平面BCD．
∵CD⊥BD，
∴OC不垂直于BD．假设A'C⊥BD，
∵OC为A'C在平面BCD内的射影，
∴OC⊥BD，矛盾，∴A'C不垂直于BD，故A错误；
∵CD⊥BD，平面A'BD⊥平面BCD，
∴CD⊥平面A'BD，A'C在平面A'BD内的射影为A'D．
∵A'B=A'D=1，BD=$\sqrt{2}$，
∴A'B⊥A'D，A'B⊥A'C，∴∠BA′C=90°，故（2）正确；
∵A′C与平面A'BD不垂直，故A′C与BD不垂直，故（1）错误；
V${\;}_{{A}^{'}-BCD}$=V${\;}_{C-{A}^{'}BD}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△{A}^{'}BD}$•CD=$\frac{1}{6}$，故（3）正确．
故答案为：（2）（3）．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．