Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA₁，E是BC的中点，
（Ⅰ）求证：AE⊥B₁C；
（Ⅱ）求异面直线AE与A₁C所成的角；
（Ⅲ）若G为C₁C的中点，求二面角C-AG-E的正切值。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为BB₁⊥面ABC，AE面ABC，
所以AE⊥BB₁，
由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC，
∵BC∩BB₁=B，
∴AE⊥面BB₁C₁C，
∴AE⊥B₁C；
（Ⅱ）取B₁C₁的中点E₁，连接A₁E₁，E₁C，
则AE∥A₁E₁，
∴∠E₁A₁C是异面直线AE与A₁C所成的角，
设AC=AB=AA₁=2a，
则，，
∴，
∵在△A₁E₁C中，，
所以异面直线AE与A₁C所成的角为；
（Ⅲ）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连接EP，EQ，
则EP⊥AC，
又∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，
∴EP⊥平面ACC₁A₁，而PQ⊥AG，
∴EQ⊥AG，
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角，
由EP=a，AP=a，，得，
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是。