Question

△ABC中，a、b、c分别是，A、B、C的对边，向量

.

m

=(2cosB，1)，

.

n

=(2cos2(

π

4

+

B

2

)，-1+sin2B)，且|

.

m

+

.

n

|=|

.

m

-

.

n

|
（1）求角B的大小
（2）若b=2

3

，求a2+c2的值．

Answer 1

分析：（1）由|

.

m

+

.

n

|=|

.

m

-

.

n

|，利用向量的数量积的运算性质证出

.

m

•

.

n

=0．根据向量数量积的坐标运算公式与三角恒等变换公式，化简得2cosB-1=0，解出cosB=

1

2

，结合B∈（0，π）可得∠B=

π

3

；
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，得到a²+c²=12+ac，利用基本不等式得ac≤

1

2

（a²+c²），从而算出a²+c²≤24，由此可得当a=c=2

3

时，a²+c²的最大值为24．

解答：解：（1）∵

.

n

=(2cos2(

π

4

+

B

2

)，-1+sin2B)，
∴化简得

n

=（1-cos（

π

2

-B），-1+sin2B）=（1-sinB，-1+sin2B），
∵|

.

m

+

.

n

|=|

.

m

-

.

n

|，∴|

.

m

+

.

n

|²=|

.

m

-

.

n

|²，可得

.

m

•

.

n

=0
∵向量

.

m

=(2cosB，1)，

n

=（1-sinB，-1+sin2B），
∴

.

m

•

.

n

=2cosB（1-sinB）+（-1+sin2B）
=2cosB-2sinBcosB+sin2B-1=2cosB-1=0，解得cosB=

1

2

，
又∵在△ABC中，B∈（0，π），∴∠B=

π

3

；
（2）∵在△ABC中，b=2

3

，∠B=

π

3

，
∴由余弦定理，得b²=a²+c²-2accos

π

3

=12，
化简得a²+c²-ac=12，即a²+c²=12+ac，
∵ac≤

1

2

（a²+c²），
∴a²+c²=12+ac≤12+

1

2

（a²+c²），得a²+c²≤24．
因此，当且仅当a=c=2

3

时，a²+c²的最大值为24．

点评：本题给出△ABC的角B满足的条件，求角B的大小并依此求a²+c²的最大值．着重考查了向量数量积的运算性质、三角恒等变换公式、余弦定理和基本不等式等知识，属于中档题．