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科目：
来源：2010年高考数学专项复习：创新题（1）（解析版）
题型：选择题
已知函数f（x）=（1-a2）x2-2bx+b2（-1＜b-1＜a）．用card（A）表示集合A中元素的个数，若使得f（x）＞0成立的充分必要条件是x∈A，且card（A∩Z）=4，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，2）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
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来源：2010年高考数学专项复习：创新题（1）（解析版）
题型：选择题
设向量
，定义一种向量积：
．已知
，点P在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足
（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值及最小正周期分别是（ ）
A．
B．
C．3，π
D．3，4π
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来源：2010年高考数学专项复习：创新题（1）（解析版）
题型：解答题
给定下列四个命题：
①若
，则b
2＞a
2；
②已知直线l，平面α，β为不重合的两个平面．若l⊥α，且α⊥β，则l∥β；
③若-1，a，b，c，-16成等比数列，则b=-4；
④若（x-2）
5=a
5x
5+a
4x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
，则a
1+a
2+a
3+a
4+a
5=-1．
其中为真命题的是
．（写出所有真命题的序号）
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来源：2010年高考数学专项复习：创新题（1）（解析版）
题型：解答题
如图，点O是已知线段AB上一点，以OA为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OB为直径的圆与⊙O的一个交点为D，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点M．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC，BD的长度是关于x的方程x
2-6x+8=0的两个根，求⊙O的半径；
（3）在上述条件下，求线段MD的长．
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来源：2010年高考数学专项复习：创新题（1）（解析版）
题型：解答题
定义运算符号：“
”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作
，（n∈N
*）．记T
n=
，其中a
i为数列{a
n}（n∈N
*）中的第i项．
①若a
n=3n-2，则T
4=
；
②若T
n=2n
2（n∈N
*），则a
n=
．
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科目：
来源：2010年高考数学专项复习：创新题（1）（解析版）
题型：解答题
给定集合An={1，2，3，…，n}，n∈N
*．若f是An→An的映射，且满足：
（1）任取i，j∈An，若i≠j，则f（i）≠f（j）；
（2）任取m∈An，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．
则称映射f为An→An的一个“优映射”．
例如：用表1表示的映射f：A
3→A
3是一个“优映射”．
表1
表2
（1）已知f：A
4→A
4是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若f：A
2010→A
2010是“优映射”，且f（1004）=1，则f（1000）+f（1007）的最大值为
．
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来源：2010年高考数学专项复习：创新题（1）（解析版）
题型：选择题
对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，in）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有ip＞iq，则称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是（ ）
A．34
B．28
C．16
D．13
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科目：
来源：2010年高考数学专项复习：创新题（1）（解析版）
题型：解答题
在数列{a
n}和{b
n}中，a
n=a
n，b
n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N
*，b∈R．
（Ⅰ）若a
1=b
1，a
2＜b
2，求数列{b
n}的前n项和；
（Ⅱ）证明：当
时，数列{b
n}中的任意三项都不能构成等比数列；
（Ⅲ）设A={a
1，a
2，a
3，…}，B={b
1，b
2，b
3，…}，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由．
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科目：
来源：2010年高考数学专项复习：创新题（1）（解析版）
题型：解答题
已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f1（x），f2（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x2，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
（3）已知b＞0，函数f（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．
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科目：
来源：2010年高考数学专项复习：创新题（1）（解析版）
题型：解答题
设集合M={1，2，3，4，5，6}，对于a
i，b
i∈M，记ei=
且a
i＜b
i，由所有ei组成的集合设为A={e
1，e
2，…e
k}．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设集合B={e
i′|e
i′=
，e
i∈A}，对任意e
i∈A，e
J′∈B，试求
；
（Ⅲ）设e
i∈A，e
J′∈B，试求e
i+e
j′∈Z的概率．
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