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已知向量的模长都为，且，若正数满足则的最大值为                ;

若不等式对恒成立，则实数的取值范围是      .

在直角坐标系内，点实施变换后，对应点为，给出以下命题：

①圆上任意一点实施变换后，对应点的轨迹仍是圆；

②若直线上每一点实施变换后，对应点的轨迹方程仍是则；

③椭圆上每一点实施变换后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；

④曲线：上每一点实施变换后，对应点的轨迹是曲线，是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，则的最小值为。

以上正确命题的序号是                   （写出全部正确命题的序号）.

已知向量，，，函数的最大值为．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．

一个口袋中有个白球和个红球且，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖.

（Ⅰ）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；

（Ⅱ）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（Ⅲ）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.

如图，边长为a的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且，将△AED、△CFD分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点，连结A¢B．

（Ⅰ）判断直线EF与A¢D的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）求二面角F－A¢B－D的大小．

设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： 。

设椭圆的离心率，是其左右焦点，点是直线（其中）上一点，且直线的倾斜角为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若 是椭圆上两点，满足，求（为坐标原点）面积的最小值.

已知函数，（其中，），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）若，满足，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，试探究与的大小，并说明你的理由．