已知中，，为的外心，若点在所在的平面上，

，且，则边上的高的最大值为        ．

各项为正数的数列，其前项的和为，且，若

，且数列的前项的和为，则        ．

设函数，其中，若，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是．

（1）求函数的解析式；

（2）若是的三个内角，且，求的取值范围

在所有棱长都相等的斜三棱柱中，已知，，且，连接．

（1）求证：平面；

（2）求证：四边形为正方形．

如图1，、是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与、平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）．

（1）求的取值范围；

（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值．

已知椭圆的右焦点为，点在圆上任意一点（点第一象限内），过点作圆的切线交椭圆于两点、．

（1）证明：；

（2）若椭圆离心率为，求线段长度的最大值．

已知函数（）．

（1）若，在上是单调增函数，求的取值范围；

（2）若，求方程在上解的个数．

已知数列单调递增，且各项非负，对于正整数，若任意的，（≤≤≤），仍是中的项，则称数列为“项可减数列”．

（1）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，且数列是“项可减数

列”，试确定的最大值；

（2）求证：若数列是“项可减数列”，则其前项的和；

（3）已知是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假，

并说明理由．

已知矩阵，向量．求向量，使得．

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的倾斜角；

（2）若直线与曲线交于两点，求