求实数m的取值范围，使抛物线y＝x²上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称．

已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5，若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段为原抛物线C在x轴上截得的线段的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程．

一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x－y－4＝0所得的弦长为3，求抛物线的方程．

如图所示，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b，且交抛物线y²＝2px(p＞0)于M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)两点．

(1)写出直线l的截距式方程；

(2)证明：；

(3)当a＝2p时，求∠MON的大小．

一颗彗星沿一条以地球为焦点的抛物线轨道运行(设彗星、地球都是质点)时，当彗星离地球d万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为30°，求此彗星运行时离地球最短的距离．

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1，2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．

(1)求这三条曲线的方程；

(2)已知动直线l过点P(3，0)，交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于x轴的直线被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

已知抛物线y²＝4x与直线x＋y－2＝0的交点为A、B，抛物线的顶点为O，在抛物线弧AOB上求一点C，使△ABC的面积最大，并求出这个最大面积．

已知抛物线y²＝2x，过点Q(2，1)任作一条直线交抛物线于A、B两点，试求弦AB的中点轨迹方程．

由点(－2，0)向抛物线y²＝4x引弦，求弦的中点的轨迹方程．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是过抛物线y²＝2px的焦点F(，0)的弦的两端点，若弦AB所在直线的倾斜角为θ，(θ≠0)，试证明：

(1)|AB|＝x₁＋x₂＋p；

(2)x₁·x₂＝．