数列{a_n}中，a_n+1＋a_n＝3n－54(n∈N₊)

(1)若a₁＝－20，求{a_n}的通项公式a_n；

(2)设S_n为{a_n}的前n项和，当a₁＞－27时，求S_n的最小值．

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

(1)求证：CD⊥AE；

(2)求证：PD⊥面ABE；

(3)求二面角A―PD―C的平面角的正弦值．

一个袋子中有4个红球和3个黑球，现从该袋中取出4个球，规定取到一个红球得3分，取到一个黑球得1分，记所取球的得分为ξ

(1)求ξ＝6的概率；

(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ．

数列{b_n}中，b₁＝a，b₂＝a²，其中a＞0，对于函数f(x)＝(b_n+1－b_n)x³－(b_n－b_n－1)x(n≥2)有．

(Ⅰ)求数列{b_n}的通项公式b_n；

(Ⅱ)若S_n＝c₁+c₂+…+c_n，求证：S_n＜

如图，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．

(Ⅰ)求证：DM//平面APC；

(Ⅱ)求证：平面ABC⊥平面APC；

(Ⅲ)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积．

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a_n，S_n，成等差数列．

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，求证:对任意实数x∈(1，e]

(e是常数，e＝2.71828…)和任意正整数n，总有T_n＜2；

(Ⅲ)正数数列{c_n}中，a_n+1＝(c_n)ⁿ⁺¹，(n∈N*)．求数列{c_n]中的最大项．

设f₁(x)＝，定义f_n+1(x)＝f₁［f_n(x)］，a_n＝(n∈N^*)．

(1)求数列｛a_n｝的通项公式；

(2)若T_2n＝a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋2na_2n，，Q_n＝(n∈N^*)，试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由．

已知函数f(x)＝x²－(－1)^k·2lnx(k∈N*)

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)k是偶数时，正项数列{a_n}满足a₁＝1，＝，求(a_n)的通项公式；

(3)k是奇数，x＞0，n∈N*时，求证：[(x)]ⁿ－2^n－1·(xⁿ)≥2ⁿ(2ⁿ－2)．

已知函数f(x)＝e^x－x(e为自然对数的底数)．

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)若n∈N*，证明：．

已知函数f(x)＝x²＋x－1，α，β是方程f(x)＝0的两个根(α＞β)，(x)是f(x)的导数；设a₁＝1，(n＝1，2，……)

(1)求α，β的值；

(2)证明：对任意的正整数n，都有a_n＞a；

(3)记(n＝1，2，……)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

思路启迪：(1)注意应用根与系数关系求α，β的值；(2)注意先求(x)；(3)注意利用α，β的关系．