已知f（x）为偶函数，且f（1+x）=f（3-x），当-2≤x≤0时，f（x）=3^x，若n∈N^*，a_n=f（n），则a₂₀₁₁=（　　）

A．- 1 3

B．3

C．-3

D． 1 3

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；              
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）且当x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，给出四个命题：
①f（3）=0； ②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；   ④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为______．

已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为0的函数，对任意实数x，y有f（x）f（y）=f（x+y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明f（x）恒正；
（Ⅱ）判断f（x）在实数集R上单调性；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=

1

3

，a_n=f（n）（n为正整数）．令b_n=f（S_n），问数列{b_n}中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数f(x)=ln

1-x

1+x

是否满足这些条件；
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．

已知函数f（t）满足对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1，且f（-2）=-2．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f（t）＞t；
（3）试求满足f（t）=t的整数t的个数，并说明理由．

设函数f(x)=

2x-1，x≤0 log2(x+1)，x＞0

如果f（x₀）＜1，求x₀的取值范围．

设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x^*∈（0，1），使得f（x）在[0，x^•]上单调递增，在[x^•，1]单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x^•为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（Ⅰ）证明：对任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），则（0，x₂）为含峰区间；若f（x₁）≤f（x₂），则（x₁，1）为含峰区间；
（Ⅱ）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x₁，x₂∈（0，1），满足x₂-x₁≥2r，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；
（Ⅲ）选取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x₂）的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34．
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）．

定义在R₊上的函数f（x）对任意实数a，b∈R₊，均有f（ab）=f（a）+f（b）成立，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）
（2）求证：f（x）为减函数．
（3）当f（4）=-2时，解不等式f（x-3）+f（5）≥-1．