已知函数f(x)＝log₂(1＋x)＋alog₂(1－x)(a∈R)．

(1)若f(x)关于原点对称，求a的值；(2)在(1)下，解关于x的不等式f^－1(x)＞m(m∈R)．

定义F(x，y)＝(1＋x)^y，x，y∈(0，＋∞)．

(1)令函数f(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x₀(－4＜x₀＜－1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；

(2)令函数g(x)＝F(1，log₂[(lnx－1)e^x＋x])，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由；

(3)当x，y∈N*，且x＜y时，求证：F(x，y)＞F(y，x)．

已知函数f(x)＝(a²＋8)e^x，函数g(x)＝(x²＋ax－2a－3)e^3－x．

(1)若a＝0，求g(x)的单调递增区间；

(2)若a＞0，且存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得| f(ξ₁)－g(ξ₂)|_min＜3，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax²＋bx(a≠0)．

(1)若a＝－2时，函数h(x)＝f(x)－g(x)在其定义域上是增函数，求b的取值范围；

(2)设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)的图象C₂交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两上不同的交点P和Q．

(1)求k的取值范围；

(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

某企业用49万元引进一条年产值25万元的生产线，为维持该生产线正常运转，第一年需各种费用6万元，从第二年开始包括维修费用在内，每年所需费用均比上一年增加2万元．

(1)该生产线第几年开始盈利(即总收入减去成本及所需费用之差为正值？)

(2)该生产线生产若干年后，处理方案有两种：①年平均盈利达到最大值时，以18万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以9万元的价格卖出，问那一种方案较为合理，请说明理由．

已知函数f(x)＝＋lnx．

(Ⅰ)若函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求正实数a的取值范围；

(Ⅱ)若a＝1，k∈R且k＜，设F(x)＝f(x)＋(k－1)lnx，求函数F(x)在[，e]上的最大值和最小值．

已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|最小值为2．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)若圆：x²＋y²＝的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

已知椭圆E：的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|最小值为2．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)若圆：x²＋y²＝的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

已知函数f₁(x)＝x，f₂(x)＝x²，f₃(x)＝x³，f₄(x)＝sinx，f₅(x)＝cosx，f₆(x)＝lg(|x|＋1)，将它们分别写在六张卡片上，放在一个盒子中，

(Ⅰ)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得的函数是奇函数的概率；

(Ⅱ)从盒子中任取两张卡片，已知其中一张卡片上的函数为奇函数，求另一张卡片上的函数也是奇函数的概率；

(Ⅲ)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数恰好为3次的概率．