将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合．记边AB所在直线的倾斜角为，已知∈[0，]．

(Ⅰ)试用表示的坐标(要求将结果化简为形如(cosα，sinα)的形式)；

(Ⅱ)定义：对于直角坐标平面内的任意两点P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，称|x₁－x₂|＋|y₁－y₂|为P、Q两点间的“taxi距离”，并用符号||PQ||表示．试求||BC||的最大值．

已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．

(Ⅰ)试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程．

(Ⅱ)是否存在过N(4，2)的直线m，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分？

已知函数f(x)＝x－ax²－ln(1＋x)，其中a∈R．

(Ⅰ)若x＝2是f(x)的极值点，求a的值；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)若f(x)在[0，＋∞)上的最大值是0，求a的取值范围)

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设P(4，0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

(Ⅲ)在(II)的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求·的取值范围．

已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱与底面所成角为，点B₁在底面上射影D落在BC上．

(Ⅰ)求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

(Ⅱ)若点D恰为BC中点，且AB₁⊥BC₁，求的大小；

(Ⅲ)若cos＝，且当AC＝BC＝AA₁＝a时，求二面角C－AB－C₁的大小．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，)在直线y＝x＋上．数列{b_n}满足b_n+2－2b_n+1＋b_n＝0(n∈N^*)，b₃＝11，且其前9项和为153．

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)设c_n＝，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．

(Ⅰ)求某个家庭得分为(5，3)的概率？

(Ⅱ)若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？

(Ⅲ)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在(Ⅱ)的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．

设函数

(1)求函数y＝f(x)取最值时x的取值集合；

(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC求函数f(A)的取值范围．

已知函数f(x)＝x³＋ax²－bx(a，b∈R)．

(1)若y＝f(x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值；

(2)若y＝f(x)在区间[－1，2]上是单调减函数，求a＋b的最小值．

已知椭圆C：的右焦点为F₁(1，0)，离心率为．

(Ⅰ)求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；

(Ⅱ)设过点F₁的直线交椭圆C于A，B两点，若△PAB的面积为，求直线AB的方程．