已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁·k₂为定值；

(Ⅲ)M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程．

已知函数f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．

(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

某班同学利用寒假进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求n、a、p的值；

(Ⅱ)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．

在三棱锥P－ABC中，ΔPAC和ΔPBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB中点．

(Ⅰ)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；

(Ⅱ)求证：平面PAB⊥平面ABC．

已知函数f(x)＝x²－2(n＋1)x＋n²＋5n－7．

(Ⅰ)设函数y＝f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{a_n}，求证：{a_n}为等差数列；

(Ⅱ)设函数y＝f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列{b_n}，求{b_n}的前n项和S_n．

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象的一部分如下图所示．

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)当x∈[－6，－]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．

已知函数f(x)＝x＋ln(1－x)，e为自然对数的底数．

(1)若x＜1时，恒有f(x)＋m≤0成立，求实数m的取值范围；

(2)若x≥2，n∈N^*，证明

已知点M是直线上的动点，为定点，过点M且垂直于直线的直线和线段MF的垂直平分线相交于点P．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)经过点Q(a，0)(a＞0)且与x轴不垂直的直线l与点P的轨迹有两个不同交点A、B，若在x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求实数a的取值范围．

已知数列{a_n}中

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)已知{b_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数N，都有成立．求证：

如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，侧面ACC₁A₁是的菱形，且侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，D为AC的中点．

(1)求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；

(2)若点E为AA₁上的一点，当CE⊥BB₁时，求二面角A－EC－B的正切值．