设数列{a_n}满足：a₁＝1，a_n+1＝3a_n，n∈N₊．

(Ⅰ)求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；

(Ⅱ)已知{b_n}是等差数列，T_n为前n项和，且b₁＝a₂，b₃＝a₁＋a₂＋a₃，求T₂₀．

已知函数f(x)＝lnx，g(g)＝x²－bx(b为常数)．

(Ⅰ)函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切，求实数b的值；

(Ⅱ)设h(x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；

(Ⅲ)若b＞1，对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|＞|g(x₁)－g(x₂)|成立，求b的取值范围．

已知椭圆的离心率为；直线l过点A(4，0)_{，B(0，2)，}且与椭圆C相切于点P．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)是否存在过点A(4，0)的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得

36|AP|²＝35|AM|·|AN|？若存在，试求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

如图：在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°．

(Ⅰ)若异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°，求棱柱的高h；

(Ⅱ)设D是BB₁的中点，DC₁与平面A₁BC₁所成的角为，当棱柱的高h变化时，求sin的最大值．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＝，a_n+1＝S_n＋(n∈N^*，t为常数)．

(Ⅰ)若数列{a_n}为等比数列，求t的值；

(Ⅱ)若t＞－4，b_n＝lga_n+1，数列{b_n}前n项和为T_n，当且仅当n＝6时T_n取最小值，求实数t的取值范围．

在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c，已知．

(Ⅰ)若a＝2，b＝3，求△ABC的外接圆的面积；

(Ⅱ)若c＝2，sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．

已知抛物线C的方程为y²＝px(p＞0)，直线l：x＋y＝m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧．

(Ⅰ)求证：直线l与抛物线C恒有两个不同交点；

(Ⅱ)已知定点A(1，0)，若直线l与抛物线C的交点为Q、R，满足·＝0，是否存在实数m，使得原点O到直线l的距离不大于，若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)＝x³－ax＋1．

(Ⅰ)若x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；

(Ⅱ)求f(x)在[0，1]上的最小值；

(Ⅲ)若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED．

(Ⅰ)求证：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求直线PD与平面AEC所成角的正弦值；

(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

数列{a_n}的前n项和，若，．

(Ⅰ)求数列{a_n}的前n项和S_n；

(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅲ)设，求数列{b_n}的前n项和T_n．