(1)若任意直线l过点F(0，1)，且与函数f(x)＝x²的图象C交于两个不同的点A、B，分别过点A、B作C的切线，两切线交于点M，证明：点M的纵坐标是一个定值，并求出这个定值；

(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，g(x)＝alnx(a＞0)求实数a的取值范围；

(3)求证：，(其中e为无理数，约为2.71828)．(注：上式右端是：)

已知椭圆C₁、开口向上的抛物线C₂的焦点均在y轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

(Ⅰ)求C₁、C₂的标准方程；

(Ⅱ)A、B为抛物线C₂的上的两点，分别过A、B作抛物线C₂的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在其准线上．

①直线AB是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由；

②说明点Q与以线段AB为直径的圆的位置关系．

现在市面上有普通型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种．某品牌普通型汽车车价为12万元，第一年汽油的消费为6000元，随着汽油价格的不断上升，汽油的消费每年以20％的速度增长．其它费用(保险及维修费用等)第一年为5000元，以后每年递增2000元．而电动汽车由于节能环保，越来越受到社会认可．某品牌电动车在某市上市，车价为25万元，购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元．电动汽车动力不靠燃油，而靠电池．电动车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年(也即两年需更换电池一次)，电池价格为1万元，电动汽车的其它费用每年约为5000元．

(1)求使用n年，普通型汽车的总耗资费S_n(万元)的表达式(总耗资费＝车价＋汽油费＋其它费用)

(2)比较两种汽车各使用10年的总耗资费用(参考数据：1.2⁴≈2.1　1.2⁵≈2.5　1.2⁹≈5.2　1.2¹⁰≈6.2)

如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，D，E分别为AB、PC的中点．

(1)在BC边上是否存在一点F，使得PB∥平面DEF．

(2)若∠PAC＝∠PBC＝90°，证明：AB⊥PC．

(3)在(2)的条件下，若AB＝2，AC＝，求三棱锥P－ABC的体积．

设椭圆的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线x－y－3＝0相切．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)直线y＝x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx(x≠0)只有一个零点x＝3．

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)若函数在区间(0，2)上有极值点，求m取值范围；

(Ⅲ)是否存在两个不等正数s，t(s＜t)，当x∈[s，t]时，函数f(x)＝x³＋ax²＋bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由；

已知椭圆的左、右焦点为F₁、F₂，上顶点为A，直线AF₁交椭圆于B．如图所示沿x轴折起，使得平面AF₁F₂⊥平面BF₁F₂．点O为坐标原点．

(Ⅰ)求三棱锥A－F₁F₂B的体积；

(Ⅱ)线段BF₂上是否存在点M，使得AM⊥OB，若存在，请在图1中指出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，从点P₁(0，0)做x轴的垂线交曲线y＝e^x于点Q₁(0，1)曲线在Q₁点处的切线与x轴交于点P₂，再从P₂做x轴的垂线交曲线于点Q₂，依次重复上述过程得到一系列点：P₁，Q₁；P₂，Q₂…；P_n，Q_n，记P_n(x_n，0)，Q_n(x_n，e^xn)(n∈N*)．

(Ⅰ)求点Q_n处的切线方程，并指出x_n+1与x_n的关系；

(Ⅱ)求|P₁Q₁|＋|P₂Q₂|＋|P₃Q₃|＋…＋|P_nQ_n|

如图，圆C₁：(x－a)²＋y²＝r²(r＞0)与抛物线C₂：x²＝2py(p＞0)的一个交点M(2，1)，且抛物线在点M处的切线过圆心C₁．

(Ⅰ)求C₁和C₂的标准方程；

(Ⅱ)若点N为抛物线C₂上的一动点，求的取值范围．

如下图，过曲线C：y＝e^x上一点P₀(0，1)作曲线C的切线l₀交x轴于点Q₁(x₁，0)，又过Q₁作x轴的垂线交曲线C于点P₁(x₁，y₁)，然后再过P₁(x₁，y₁)作曲线C的切线l₁交x轴于点Q₂(x₂，0)，又过Q₂作x轴的垂线交曲线C于点P₂(x₂，y₂)，…，以此类推，过点P_n的切线l_n与x轴相交于点Q_n+1(x_n+1，0)，再过点Q_n+1作x轴的垂线交曲线C于点P_n+1(x_n+1，y_n+1)(n∈N^*)．

(1)求x₁、x₂及数列{x_n}的通项公式；

(2)设曲线C与切线l_n及直线P_n+1Q_n+1所围成的图形面积为S_n，求S_n的表达式；(3)在满足(2)的条件下，若数列{S_n}的前n项和为T_n，求证：N^*．