已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，且对任意的n∈N*，都有a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃＋···＋a_nb_n＝n·2ⁿ⁺³．
（1）若{b_n}的首项为4，公比为2，求数列{a_n＋b_n}的前n项和S_n；
（2）若a₁＝8．
①求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
②试探究：数列{b_n}中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r（r∈N，r≥2）项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．

如图所示的两个同心圆盘均被等分（且），在相重叠的扇形格中依次同时填上，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”.
（1）求个不同位置的“旋转和”的和；
（2）当为偶数时，求个不同位置的“旋转和”的最小值；
（3）设，在如图所示的初始位置将任意对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明：当时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0.

已知正项数列{a_n}中,a₁=1,且log₃a_n,log₃a_n+1是方程x²(2n1)x+b_n=0的两个实根.
（1）求a₂,b₁;
（2）求数列{a_n}的通项公式;
（3）若,是前项和, ,当时,试比较与的大小.

已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.

已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．
（1）若某4阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；
（2）若某11阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若为n阶“归化数列”，求证：．

设数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，已知，且构成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项的和.

在数列中，
（1）若数列是等比数列， 求实数；
（2）求数列的前项和.

已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明：.