已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁＝b₁＝2，b₄＝54，a₁＋a₂＋a₃＝b₂＋b₃．
(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)数列{c_n}满足c_n＝a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

已知函数f(x)＝，数列{a_n}满足：2a_n＋1－2a_n＋a_n＋1a_n＝0且a_n≠0．数列{b_n}中，b₁＝f(0)且b_n＝f(a_n－1)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

(2013·杭州模拟)已知数列{a_n}的前n项和S_n＝－a_n－^n－1＋2(n∈N^*)，数列{b_n}满足b_n＝2ⁿa_n．
(1)求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．
(2)设数列的前n项和为T_n，证明：n∈N^*且n≥3时，T_n＞．
(3)设数列{c_n}满足a_n(c_n－3ⁿ)＝(－1)^n－1λn(λ为非零常数，n∈N^*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N^*，都有c_n＋1＞c_n．

(2013·天津模拟)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－2(n∈N^*)，数列{b_n}满足b₁＝1，且点P(b_n，b_n＋1)(n∈N^*)在直线y＝x＋2上．
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
(2)求数列{a_n·b_n}的前n项和D_n．
(3)设c_n＝a_n·sin²－b_n·cos²(n∈N^*)，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

设满足以下两个条件得有穷数列为阶“期待数列”：
①，②.
（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比；
（2）若一个等差数列既为阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为.
（）求证：；
（）若存在，使，试问数列是否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.
（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；
（2）若为等比数列，且，求的值；
（3）若为等差数列，求出所有可能的数列.

在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.
（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；
（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；
（3）设，，求的值.（用表示）

（2013•重庆）设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊．
（1）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）已知{b_n}是等差数列，T_n为前n项和，且b₁=a₂，b₃=a₁+a₂+a₃，求T₂₀．

（2012•广东）设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．

（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁为a（a∈R）设数列的前n项和为S_n，且，，成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）记A_n=+++…+，B_n=++…+，当n≥2时，试比较A_n与B_n的大小．