等比数列{a_n}中,a₁,a₂,a₃分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a₁,a₂,a₃中的任何两个数不在下表的同一列.

已知等比数列{a_n}的所有项均为正数，首项a₁＝1，且a_4,3a₃，a₅成等差数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)数列{a_n＋1－λa_n}的前n项和为S_n，若S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，求实数λ的值．

已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝ (n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项a_n；
(2)若数列{b_n}满足b_n＝(3ⁿ－1)a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式(－1)ⁿλ＜T_n对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足6S_n＝＋3a_n＋2，且a₁，a₂，a₆是等比数列{b_n}的前三项．
(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
(2)记T_n＝a₁b_n＋a₂b_n－1＋…＋a_nb₁，n∈N^*，证明：3T_n＋1＝2b_n＋1－a_n＋1(n∈N^*)．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－1；数列{b_n}满足b_n－1－b_n＝b_nb_n－1(n≥2，n∈N^*)，b₁＝1.
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(2)求数列的前n项和T_n.

在数列中，，，设．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n＋1是关于x的方程x²－2ⁿx＋b_n＝0的两根，且a₁＝1.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列{a_n}的前n项和S_n；
(3)设函数f(n)＝b_n－t·S_n(n∈N^*)，若f(n)＞0对任意的n∈N^*都成立，求t的取值范围．

已知等比数列{a_n}满足a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n＞ka_n－2对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²(n∈N^*)，等比数列{b_n}满足b₁＝a_1,2b₃＝b₄.
(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)若c_n＝a_n·b_n(n∈N^*)，求数列{c_n}的前n项和T_n.

定义:若数列{A_n}满足A_n+1=,则称数列{A_n}为“平方递推数列”.已知数列{a_n}中,a₁=2,点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=2x²+2x的图象上,其中n为正整数.
(1)证明:数列{2a_n+1}是 “平方递推数列”,且数列{lg(2a_n+1)}为等比数列.
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为T_n,即T_n=(2a₁+1)(2a₂+1)…(2a_n+1),求数列{a_n}的通项公式及T_n关于n的表达式.