已知数列{}的前项和为  
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列{}的前项和为,求 。

已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项
（1）求和的通项公式.
（2）设，数列的前项和为，求证：．

已知曲线：,数列的首项，且
当时，点恒在曲线上，数列{}满足
(1)试判断数列是否是等差数列？并说明理由；
(2)求数列和的通项公式；
(3)设数列满足，试比较数列的前项和与的大小．

已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，
；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.

已知,数列满足,数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，.
（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；
（Ⅱ）将数列中的第项，第项，第项，……，第项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.

已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，
都有f（x+1）=f（x）+2．数列{a_n}满足．
（1）当x为正整数时，求f（n）的表达式；（2）设λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（3）若对任意n∈N^*，总有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求实数λ的取值范围．

在数列中，
（Ⅰ）求数列的前项和；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的最小值.

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且．
（1）求a₁，a₃；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．

已知正项数列的前项和为，且 .
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）是否存在非零整数，使不等式
对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律。下图是一个11阶杨辉三角：
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14个数与第15个数的比为，求n的值；
（3）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35。显然，1+3+6+10+15=35。事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数。试用含有m、k的数学公式表示上述结论，并给予证明。