如图, 三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC₁上动点, F是AB中点, AC =" 1," BC =" 2," AA₁ =" 4."

(1) 当E是棱CC₁中点时, 求证: CF∥平面AEB₁;
(2) 在棱CC₁上是否存在点E, 使得二面角A—EB₁—B
的余弦值是, 若存在, 求CE的长, 若不存在,
请说明理由.

如图，棱柱ABCD—的底面为菱 形 ，AC∩BD=O侧棱⊥BD,点F为的中点．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：平面平面.

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF//AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（1）求证：NC∥平面MFD；
（2）若EC=3，求证：ND⊥FC;
（3）求四面体NFEC体积的最大值．

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC₁的中点.

（1）证明：B F//平面E CD₁
（2）求二面角D₁—EC—D的余弦值.

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台。
如图，在四棱台中，下底是边长为的正方形，上底是边长为1的正方形，侧棱⊥平面，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（1）求证：DC平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦值；
（3）求二面角B－EF－A的余弦值．

如图，三棱锥中，底面于，，，点是的中点.

（1）求证：侧面平面；
（2）若异面直线与所成的角为，且，
求二面角的大小.

如图：四棱锥中，,,．∥，．．

（Ⅰ）证明: 平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使直线与平面成角正弦值等于，若存在，指出点位置，若不存在，请说明理由．

如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设平面与半圆弧的另一个交点为．
①试证：；
②若，求三棱锥的体积．

如图1，在Rt中， ，．D、E分别是上的点，且．将沿折起到的位置，使，如图2．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；