已知曲线E：ax²＋by²＝1(a>0，b>0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A、B，且＝－2.
(1)若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直线AB的方程．

已知曲线C上动点P(x，y)到定点F₁(，0)与定直线l₁∶x＝的距离之比为常数.
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)²＋y²＝r²(r>0)，设圆T与曲线C交于点M与点N，求·的最小值，并求此时圆T的方程．

设A₁、A₂与B分别是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A₂B与圆C：x²＋y²＝1相切．
(1)求证：＝1；
(2)P是椭圆E上异于A₁、A₂的一点，若直线PA₁、PA₂的斜率之积为－，求椭圆E的方程；
(3)直线l与椭圆E交于M、N两点，且·＝0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．

已知椭圆E：＋y²＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；
(2)若Rt△MAB面积的最大值为，求a；
(3)对于给定的实数a(a＞1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由．

如图，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e＝.过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P与A、B连线的斜率之积为－.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r.
(ⅰ)求圆M的方程；
(ⅱ)当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．

已知椭圆＋y²＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4m，0)(m＞0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若θ＝90°，，求实数m；
(3)试问的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．

如图，椭圆C₀：＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C₁：x²＋y²＝，b<t₁<a.点A₁、A₂分别为C₀的左、右顶点，C₁与C₀相交于A、B、C、D四点．

(1)求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C₂：x²＋y²＝与C₀相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t₂<a，t₁≠t₂.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

(1)求证：A、C、T三点共线；
(2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．