科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=4，E为PD中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（3）求二面角E-AC-D的正弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=a，E，F分别为AD，CD的中点．
（1）若AC₁⊥D₁F，求a的值；
（2）若a=2，求二面角E-FD₁-D的余弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PA上是否存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是

2

3

，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的点，且CE=1．
（1）求证BE⊥B₁C；
（2）求直线A₁B与直线B₁C所成角的正弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，已知四边形ABCD与CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．
（Ⅰ）求证：ED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-BE-C的大小．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是梯形，AD∥BC且∠ADC=60°，BC=2AD=4．
（1）求证：DC⊥PA；
（2）在PB上是否存在一点M（不包含端点P，B）使得二面角C-AM-B为直二面角，若存在求出PM的长，若不存在请说明理由．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．
（1）求证：PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为线段CD中点．
（1）求直线B₁E与直线AD₁所成的角的余弦值；
（2）若AB=2，求二面角A-B1E-

A

_

1的大小；
（3）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．