科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=2

3

，∠ABC=

π

3

．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F是PD的中点，E是线段AB上的点．
（Ⅰ）当E是AB的中点时，求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）要使二面角P-EC-D的大小为45°，试确定E点的位置．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，求AB的长．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．
（1）求证：AB⊥平面PBC；
（2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角；
（3）在（2）的条件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

科目： 来源：不详 题型：单选题

科目： 来源：不详 题型：单选题

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AD的中点，则异面直线C₁E与BC所成的角的余弦值是（　　）

A． 10 5

B． 10 10

C． 1 3

D． 2 2 3

科目： 来源：不详 题型：解答题

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分别以OC，OA，OS为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
（Ⅰ）求

SC

与

OB

夹角的余弦值；
（Ⅱ）求OC与平面SBC夹角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在边AB上，设

AP

=λ

PB

（λ＞0），过点P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC；沿PE将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求证：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正实数λ，使得二面角C-A′B′-P的大小为90°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=

6

．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．