如图，在六面体A₁B₁C₁-ABDE中，平面A₁B₁C₁∥平面ABDE，△A₁B₁C₁是正三角形，四边形AA₁B₁B是直角梯形，AA₁⊥AB，四边形AEC₁A₁是正方形，四边形ABDE是等腰梯形，AB∥DE，AB=2AE=2DE=2．
（Ⅰ）证明：AB₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求平面AB₁E与平面BB₁C₁D所成锐二面角的余弦值．

如图，在四面体ABCD中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=

3

，D是AC的中点，点E在AB上，AB=3AE．
（Ⅰ）求证：AO⊥DE；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的余弦值．

已知数列{b_n}满足S_n+b_n=

n+13

2

，其中S_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求证：数列{b_n-

1

2

}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）如果对任意n∈N^*，不等式

12k

12+n-2Sn

≥2n-7恒成立，求实数k的取值范围．

已知向量

a

=（sinωx-cosωx，sinωx），

b

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx）．设函数f（x）=

a

•

b

+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（

1

2

，1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（

π

5

，0），求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围．

已知等比数列{a_n}满足a₂a₃a₄=8，且a₂+2，a₃+4，a₄+5构成公差不为零的等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n+

1

2

}是等比数列．

甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=

4

3

，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值．求s的值及Y的分布列及期望．

已知函数f（x）=Asin（ωx-

π

6

）+1（A＞0，ω＞0）的周期是π，最大值为3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

某奶茶店为了回馈客户和促销，准备推出掷骰子（投掷各面数字为1到6的均匀正方体，看面朝上的点数）赢积分券的活动，游戏规则如下：顾客每次消费后，可同时投掷三枚骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢将四个等级的积分卷，用于在以后来店消费中抵用现金．其中一等奖可获得100个积分，二等奖可获得20个积分，三等奖可获得10个积分，感谢奖可获得5个积分．
设事件A：“三连号”；事件B：“三个同点”；事件C：“恰有两个连号且恰有两个同点”．
已知：①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖．
（1）请替该店定出各个等级奖依次对应的事件和概率；
（2）从成本考虑，希望此次活动的总体优惠幅度控制在15%内，如果准备规定100个积分抵用1杯奶茶，请你从数学期望的角度替该奶茶店计算此规定能否达到此成本控制目的（假设积分利用率为100%）．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，a_n=2S_n+1+3ⁿ（n∈N^*，n≥2）．
（1）求证：数列{

Sn

3n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令b_n=

2n2-5n-3

an

，如果对任意n∈N^*，都有b_n+

2

9

t＜t²成立，求实数t的取值范围．

（1）2-

1

2

+

(-4)0

2

+

1

2 -1

-

(1- 5 )0

 
（2）log₂25•log₃

1

16

•log₅

1

9

（3）解方程lg（x+1）=1+lg2
（4）求lg14-2lg

7

3

+lg7-lg18的值．