如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B₁-CE-C₁的正弦值．

已知集合A={x|-3≤x≤1}，B={x|a-1≤x≤2a+3}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．

甲乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y，设随机变量X=|x-y|．
（1）求y=2的概率；
（2）求随机变量X的分布列及数学期望．

已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（-3，-4），B（5，-12），若

OC

=

OA

+

OB

，

OD

=

OA

-

OB

．
（Ⅰ）求点C和点D的坐标；
（Ⅱ）求

OC

•

OD

．

已知多面体ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥CD
（Ⅱ）求直线AC与平面CBE所成角的余弦值．

数列{a_n}满足a₁=-13，

1

an

-

2

an•an+1

-

1

an+1

=0，且前n项的和为S_n．
（1）证明：数列{a_n}为等差数列；
（2）求数列{

Sn

n

}的前n项和T_n．

为弘扬“乐于助人，与人为善”中华传统美德，某社区组织了一个40人的社区志愿者服务团队，他们在一个月内参加社区公益活动的次数统计如表所示：

活动次数	1	2	3
参加人数	5	15	20

（1）从该服务团队中任意选3名志愿者，求这3名志愿者中至少有两名志愿者参加活动次数签好相等的概率；
（2）从该服务团队中任选两名志愿者，用X表示这两人参加活动次数只差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．

几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F₁、F₂是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．

（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．
①求证：OM∥平面A′B′N；
②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F₁，N′F₂与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan（α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．

如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，点E在线段PB上，且PE=

1

3

PB．
（Ⅰ）求证：AP⊥BM；
（Ⅱ）求三棱锥ABEM的体积．

已知函数f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数．求证：函数F（x）=f（x）-g（x）在R上是增函数．