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如图，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点．
（1）当点E为AB的中点时，求证：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求点A₁到平面BDD₁的距离；
（3）当

AE

=

1

2

EB

时，求二面角D₁-EC-D的余弦值．

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某次素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计成绩的平均值；
（2）若成绩排名前5的学生中，有一人是学生会主席，从这5人中推荐3人参加自主招生考试，试求这3人中含该学生会主席的概率．

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已知矩形ABCD所在的平面和梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥FE，G、H分别为AB、CF的中点，AB=2，AD=EF=1，∠AFB=

π

2

．
（1）求证：GH∥平面DAF；
（2）AF⊥平面BFC；
（3）求平面CBF将几何体EFABCD分成两个锥体F-ABCD与F-BCE的体积之比．

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如图，A（

2

2

，

2

2

），B（-

2

2

，

2

2

），C（-

2

2

，-

2

2

），D（

2

2

，-

2

2

），从这4点中随机取2点．
（1）求这两点与原点O（0，0）共线的概率；
（2）求这两点与原点O（0，0）恰好构成直角三角形的概率．

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如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

）的部分图象．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和；
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移

2π

3

个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数y=g（x）的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间[0，

5π

6

]上至多有一个解，求正数k的取值范围．

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如图，在△ABC中，∠B=

π

2

，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（Ⅰ）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE；
（Ⅱ）当棱锥A′-PBCD的体积最大时，求PA的长．