已知函数f(x)=x+3x+1．设数列{an}满足a1=1.an+1=f(an).数列{bn}满足bn=|an-3|.Sn=b1+b2+-+bn(n∈N*)．(Ⅰ)用数学归纳法证明bn≤(3-1)n2——青夏教育精英家教网—

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科目： 来源：辽宁 题型：解答题

已知函数f（x）=

x+3

x+1

（x≠-1）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b_n=|a_n-

|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明b_n≤

(

-1)n

2n-1

；
（Ⅱ）证明S_n＜

．

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科目： 来源：重庆 题型：解答题

数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+

n2+n

）a_n+

（n≥1）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…．

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科目： 来源：湖北 题型：解答题

已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知(1-

n+3

)n＜

，求证(1-

n+3

)n＜(

)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5n⁺…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

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科目： 来源：不详 题型：解答题

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=

an•(4-an)，n∈N．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

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科目： 来源：不详 题型：填空题

用数学归纳法证明2ⁿ＞n²（n∈N，n≥1），则第一步应验证______．

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科目： 来源：不详 题型：解答题

试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小．
当n=1时，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．

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科目： 来源：不详 题型：解答题

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为an=

，f(n)=

S2n n=1

S2n-Sn-1 n≥2

．
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

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科目： 来源：不详 题型：解答题

已知：a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，求证：

an+bn

≥(