在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=2PC．
（1）求直线AP与平面BCC₁B₁所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AD₁-D的平面角的余弦值；
（3）求点O到平面AD₁P的距离．

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=

6

．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P-BCE的体积．

如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°．点E在BD上，且DE=

1

3

DB．
（Ⅰ）求证：AB⊥CE；
（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A-CD-B的余弦值．

如图，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，点M和N分别为线段A₁B₁和CC₁上的点，且A₁M=2MB₁，MN∥平面A₁BC．求证：
（1）AB⊥A₁C；
（2）CN=2NC₁．

已知α∈（0，

π

2

），sinα=

3

5

，求tanα．

用特征性质描述法表示：由北京一个城市构成的集合．

圆与椭圆有很多类似的性质，如圆的面积为πr²（r为圆的半径），椭圆的面积为πab（a，b分别为椭圆的长、短半轴的长）．某同学研究了下面几个问题：
（1）圆x²+y²=r²上一点（x₀，y₀）处的切线方程为x₀x+y₀y=r²，类似地，请给出椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点（x₀，y₀）处的切线方程（不必证明）；
（2）如图1，TA，TB为圆x²+y²=r²的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，则OP•OT=r²．如图2，TA，TB为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，请给出椭圆中的类似结论并证明．

（3）若过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上外一点M（s，t）作两条直线与椭圆切于A，B两点，且AB恰好过椭圆的左焦点，求证：点M在一条定直线上．

某校50名学生在一次科普知识竞赛中，初赛成绩全部介于60与100之间，将初赛成绩按如下方式分成四组：第一组[60，70]，第二组[70，80]，…，第四组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）求成绩在[80，90]范围内的人数；
（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次回答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对l道，则获得二等奖，否则获得三等奖．某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与成绩不少于80分的频率值相同．
（i）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
（ii）设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及X的数学期望．

如图，在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA₁和DC₁．
（Ⅰ）求证：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求直线CC₁与平面DA₁C₁所成角的正弦值．