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如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，△ABF₂的周长为4

2

，且△AF₁F₂面积最大时，△AF₁F₂为直角三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=2相交于点Q，证明：点M（1，0）在以PQ为直径的圆上；
（3）试问，是否存在x轴上的点T（t，0），使得

TA

•

TB

为定值，若存在，求出T点的坐标，若不存在，说明理由．

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在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AD，DD₁的中点，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁，且这个几何体的体积为

40

3

．
（1）求证：EF∥平面A₁B₁C₁；
（2）求A₁A的长；
（3）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

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如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°AB=AD=2BC，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明AD⊥PC
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

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在平面直角坐标系xOy中，已知AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为k_OM，k_AB，则k_OM•k_AB=-

b2

a2

．
（1）类比椭圆的上述性质，给出一个在双曲线中也成立的性质；
（2）证明（1）中的结论．

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