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若函数f（x）定义域为R，取x₀∈R并且x_n+1=f（x_n）（n∈N），则称{x_n}是f（x）的迭代数列．已知{a_n}，{b_n}均是f（x）=

1

x2+2

的迭代数列，S_n=

n

k=1

a_k，T_n=

n

k=1

b_k．
（Ⅰ）对任意x，y∈R且x≠y，求证：|f（x）-f（y）|＜

1

4

|x-y|．
（Ⅱ）求证：|S_n-T_n|＜

2

3

（n∈N⁺）．
（Ⅲ）求证：存在唯一实数T满足|S_n-nt|＜

2

3

（n∈N⁺）．

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已知l₁为函数f（x）=x²（x∈[0，2]）在P（t，t²）（t∈（0，2））处的切线，l₂为x=2，f（x），l₁，l₂与x轴所围成的图形如图所示．
（1）请用t表示S₁+S₂=g（t）；
（2）求g（t）的最小值．

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在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知平面BB₁C₁C⊥平面ABC，AB=AC，D是BC中点，且B₁D⊥BC₁．
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面B₁AD；
（Ⅱ）证明BC₁⊥平面B₁AD．

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如图，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠BCA=90°，AC=BC=1，PC=2，AD=1．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面BCD；．
（Ⅱ）设Q为PB的中点，求二面角Q-CD-B的余弦值．

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如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱DD₁⊥底面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，AD=DD₁=2，BC=DC=1．点E是侧棱DD₁的中点．
（1）证明：B₁E⊥AB；
（2）若点F在线段B₁E上，且B₁F=

1

3

B₁E，求直线AF与平面BDD₁B₁所成角的正弦值．

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如图，在几何体ABCDE中，BE⊥平面ABC，CD∥BE，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求AB与平面BDF所成角的正弦值．

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如图已知圆锥SO的底面半径为4，母线长为8，三角形SAB是圆锥的一个轴截面，D是SA上的一点，且SD=

8

3

3

．动点M从点B出发沿着圆锥的侧面运动到达点D，当其运动路程最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面SAB绕着轴SO逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，母线SB₁与曲线Γ相交于点P．
（Ⅰ）若θ=

π

2

，证明：平面A₁B₁P⊥平面ABP；
（Ⅱ）若θ=

2π

3

，求二面角B₁-AB-P的余弦值．