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已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点P（1，

3

2

）．过它的两个焦点F₁，F₂分别作直线l₁与l₂，l₁交椭圆于A、B两点，l₂交椭圆于C、D两点，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求四边形ACBD的面积S的取值范围．

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已知曲线C₁：

x2

4

+

y2

4λ

=1，曲线C₂：

x2

4λ

+

y2

4λ2

=1(0＜λ＜1)．曲线C₂的左顶点恰为曲线C₁的左焦点．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）为曲线C₂上一点，过点P作直线交曲线C₁于A，C两点．直线OP交曲线C₁于B，D两点．若P为AC中点．
①求证：直线AC的方程为x₀x+2y₀y=2；
②求四边形ABCD的面积．

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如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆Γ的离心率为

3

2

，焦距为2

3

，点A，B分别是椭圆Γ的右顶点和上顶点，点D是线段AB上的一动点，点C是椭圆Γ上不与A，B重合的一动点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程和△CAB的面积的最大值；
（Ⅱ）若满足：

OD

=λ

OC

（λ＜0），求λ的取值范围．

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如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为

3

，D为棱AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大小．

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