已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点（1，

3

2

）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）O为坐标原点，直线y=kx+m与椭圆E相交于不同的两点A、B，若椭圆E上存在点C，使得O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．

如图，已知抛物线y²=x，过原点O作两条相互垂直的直线，分别交抛物线于点P，Q
（1）求证：直线PQ过定点，并求该定点的坐标．
（2）若过点Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，求△PQT面积最小时，点Q的横坐标．

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，点E在PD上，且PE=2ED．
（Ⅰ）求二面角P-AC-E的大小；
（Ⅱ）试在棱PC上确定一点F，使得BF∥平面AEC．

过直线l：x+y-6=0上一点P（4，2）作圆O：x²+y²=4的两条切线，切点为A、B，求：
（1）△ABP的外接圆方程；
（2）若M为l上任意一点，求切线长的最小值．

已知（

x

-

2

x

）ⁿ展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：
（1）n的值；
（2）展开式中含x³的项．

已知四棱锥P-ABCD，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AD=

2

，CD=4，PD=2，E为AP上一点，DE⊥AP，F是平面DEC与BP的交点．
（Ⅰ）求证：EF∥AB；
（Ⅱ）求证：AP⊥面EFCD；
（Ⅲ）求PC与面EFCD所成角的正弦值．

如图，半径为1的圆O，∠AOB=∠BOC=∠COA=

2π

3

，点A₀，B₀，C₀分别是半径OA、OB、CO上的动点，且OA₀=OB₀=OC₀，分别过A₀，B₀，C₀作半径OA、OB、CO的垂线，交圆O与A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂，过A₂，B₁分别作OA、OB的平行线A₂M和B₁M交于点M，过B₂，C₁分别作OB、OC的平行线B₂N和C₁N交于点N，过C₂，A₁分别作OC、OA的平行线C₂P和A₁P交于点P，由A₁A₂MB₁B₂NC₁C₂P围成图所示的平面区域（阴影部分），记它的面积为y，设∠A₂OA=θ，用y=f（θ）表示y关于θ的函数．
（1）设θ∈（0，

π

3

]，求y=f（θ）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（θ）的最大值，并求出当函数取最大值是时tan2θ的值．

一个盒中有8件产品中，其中2件不合格品．从这8件产品中抽取2件，试求：
（Ⅰ）若采用无放回抽取，求取到的不合格品数X的分布列；
（Ⅱ）若采用有放回抽取，求至少取到1件不合格品的概率．

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）．
（1）若f（

π

2

）=-

2

3

，求f（0）的值．
（2）求满足f（x）＞-

A

2

的x的取值范围．
（3）若A=1，令g（x）=f（

1

3

x+

π

12

），求方程lg|x|=2g（x）的解的个数．

求函数y=x³-3x在区间[0，2]的最大值和最小值．