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如图，假设两圆O₁和O₂交于A、B，⊙O₁的弦BC交⊙O₂于E，⊙O2的弦BD交⊙O₁于F，证明：
（1）若∠DBA=∠CBA，则DF=CE； 
（2）若DF=CE，则∠DBA=∠CBA．

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如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

A1P

=λ

A1B

．
（Ⅰ）当λ=

1

2

时，求直线PN与平面ABC所成的角θ的正弦值；
（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

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如图（1），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠ABC=60°，E是BC的中点，将△ABE沿AE折起，得到如图（2）所示的四棱锥B′-AECD，连结B′C，B′D，F是CD的中点，P是B′C的中点，且PF=

6

2

．

（1）求证：AE⊥平面PEF；
（2）求二面角B′-EF-A的余弦值．

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如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，AB=BC=AA₁=3，线段AC、A₁B上分别有一点E、F且满足2AE=EC，2BF=FA₁．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）求点E到直线A₁B的距离；
（3）求二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

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