已知圆是C：（x+

3

）²+y²=16，点N（

3

，0），Q是圆C上的一动点，QN的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）过点P（1，0）的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB（O是坐标原点）的面积为S，求面积S的最大值，并求出面积最大时直线AB的方程．

已知函数f（x）=x（a+blnx）在（1，f（1））处的切线方程为2x-y-1=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当x＞0时，f（x+1）＞tx恒成立，求整数t的最大值；
（Ⅲ）试证明：（1+2）（1+2²）（1+2³）…（1+2ⁿ）＞e^2n-3（n∈N^*）

数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差不为零的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

bn

an

}的前n项和T_n．

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1左右焦点分别为F₁，F₂，连结椭圆上不同两点A，B满足AB∥x轴，过点A作AF₂的垂线l₁，过点B作BF₂的垂线l₂．且l₁，l₂的交点为C．
（1）求△ABF₂面积的最大值；
（2）求证：过点A，B，C的圆D的在x轴上截得的弦长为定值．

设F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+y²=1的左、右焦点，斜率为k的直线l经过右焦点F₂，且与椭圆相交于A，B两点，且△ABF₁的周长为4

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如果△ABF₁的重心在y轴上，求直线l的斜率k．

在三棱锥P-ABC中，已知PA=PB，∠ABC为直角，点D，E分别为PB，BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若F在线段AC上，且

AF

FC

=

1

2

，求证：AD∥平面PEF．

已知实数x、y满足y=-2x+8，且2≤x≤3，求

y

x

的最大值和最小值．

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量（单位：t），制作了频率分布直方图，
（Ⅰ）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；
（Ⅱ）用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量（看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值．

某医疗设备每台的销售利润与该设备的无故障使用时间Q（单位：年）有关，若Q≤1，则销售利润为0元；若1＜Q≤3，则销售利润为10万元；若Q＞3，则销售利润为20万元．已知每台该种设备的无故障使用时间Q≤1，1＜Q≤3及Q＞3这三种情况发生的概率分别为p₁，p₂，p₃，又知p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且p₂=p₃．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）记两台这种设备的销售利润之和为ξ，求ξ的分布列和期望．

点A（1，2）到抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的距离为2，过T（3，-2）的动直线l与此抛物线交于P、Q两点
（1）求抛物线的标准方程；
（2）证明：直线AP与直线AQ的斜率之积恒为定值
（3）是否存在以PQ为底边的等腰△AQP？若存在，说出这样的等腰三角形的个数，若不存在，请说明理由．