设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，则数列{a_n}的前n项和为．

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；
（3）对于任意满足p=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=q（n∈N^*，n≥3）的自变量x₀，x₁，x₂，…，x_n，如果存在一个常数M＞0，使得定义在区间[p，q]上的一个函数m（x），|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，则称函数m（x）为区间[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f（x）是否区间[1，3]上的有界变差函数，若是，求出M的最小值；若不是，请说明理由．

已知函数f（x）=|x-1|+2|x+1|+1．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜6的解集；
（Ⅱ）若直线y=（

1

3

）^a（a∈R）与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数a的取值区间．

已知函数f（x）=2a²lnx-x²（常数a＞0）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）在区间（1，e²）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

吉安一中新校区正在如火如荼地建设中，如图，某工地的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，工地的两个出入口设置在点A及点C处，工地中有两条笔直的小路AD、DC，长度分别为300米、500米，且DC平行于OB．求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．

如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在直线AC上，斜边中点为M（2，0）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）若动圆P过点N（-2，0），且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程．

已知a，b均为正数，且a+b=1，证明：
（1）（ax+by）²≤ax²+by²
（2）（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²≥

25

2

．

如图所示的两个同心圆盘均被n等分（n∈N⁺且n≥2），在相重叠的扇形格中依次同时填上1，2，3，L，n，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”．
（Ⅰ）求n个不同位置的“旋转和”的和；
（Ⅱ）当n为偶数时，求n个不同位置的“旋转和”的最小值；
（Ⅲ）设n=4m（m∈N⁺），在如图所示的初始位置将任意m对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明：当m≤4时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0．

数列{a_n}满足a_n=S_n-1+n，a₁=0，求{a_n}的通项公式．

关于x的方程x²-mx+m+1=0（k∈R）的两实根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π），sinθ+cosθ求：
（1）m的值；
（2）

sinθ

1+ 1 tanθ

+

cosθ

1+tanθ

的值；
（3）方程的两实根及此时θ的值．