已知f（x）=ax³+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=-2x+1
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间．

已知函数f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2
（1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；
（2）探究函数f（x）在（0，+∞）的单调性；
（3）求函数f（x）在区间[

1

3

，4]上的最大值．

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₉=a₃₇+24，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

Sn

}的前n项和．

（1）证明两角差的余弦公式C_（α-β）：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）若cosα=-

3

5

，α∈（0，π），求cos（α-

π

4

）的值．

用记号

n

i=0

a_i表示a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n，b_n=

n

i=0

a_2i，其中i∈N，n∈N^*．
（1）设

2n

k=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ（x∈R），求b₂的值；
（2）若a₀，a₁，a₂，…，a_n成等差数列，求证：

n

i=0

（a_iC

i n

）=（a₀+a_n）•2^n-1；
（3）在条件（1）下，记d_n=1+

n

i=1

[（-1）ⁱb_iC

i n

]，计算

lim

n→∞

dn

bn

的值．

某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过a吨的每吨2元；超过a吨而不超过（a+2）吨的，超出a吨的部分每吨4元；超过（a+2）吨的，超出（a+2）吨的部分每吨6元．
（1）写出每户每月用水量x（吨）与支付费y（元）的函数关系；
（2）该地一家庭记录了去年12个月的月用水量（x∈N^*）如下表：

月用水量x（吨）	3	4	5	6	7
频数	1	3	3	3	2

将12个月记录的各用水量的频率视为概率，若取a=4，用Y表示去年的月用水费用，求Y的分布列和数学期望（精确到元）；
（3）今年干旱形势仍然严峻，该地政府决定适当下调a的值（3＜a＜4），小明家响应政府号召节约用水，已知他家前3个月的月平均水费为11元，并且前3个月用水量x的分布列为：

月用水量x（吨）	4	6	3
P	1 3	1 3	1 3

请你求出今年调整的a值．

函数f（x）=x²+2x-1．
（Ⅰ）若定义域为[-2，3]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的值域为[-2，2]，且定义域为[a，b]，求b-a的最大值．

已知α∈（0，

π

4

），β∈（0，π），且tan（α-β）=

1

2

，tanβ=-

1

7

，求tan（2α-β）的值及角2α-β．

袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．
（1）求第二次取球后才“停止取球”的概率；
（2）求停止取球时所有被记下的编号之和为5的概率．

已知函数f（x）=

1

2

ax²-lnx，a∈R⁺．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，e]的最小值为1，求a的值．