定义函数y=f（x），x∈D（D为定义域）图象上的点到坐标原点的距离为函数的y=f（x），x∈D的模．若模存在最大值，则称之为函数y=f（x），x∈D的长距；若模存在最小值，则称之为函数y=f（x），x∈D的短距．
（1）分别判断函数f₁（x）=

1

x

与f₂（x）=

-x2-4x+5

是否存在长距与短距，若存在，请求出；
（2）求证：指数函数y=a^x（a＞0，a≠1）的短距小于1；
（3）对于任意x∈[1，2]是否存在实数a，使得函数f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2且长距不大于4．若存在，请求出a的取值范围；不存在，则说明理由？

定义函数y=f（x），x∈D（D为定义域）图象上的点到坐标原点的距离为函数的y=f（x），x∈D的模．若模存在最大值，则称之为函数y=f（x），x∈D的长距；若模存在最小值，则称之为函数y=f（x），x∈D的短距．
（1）判断函数f₁（x）=

1

x

是否存在长距与短距，若存在，请求出；
（2）判断函数f₂（x）=

-x2-4x+5

是否存在长距与短距，若存在，请求出；
（3）对于任意x∈[1，2]都存在实数a使得函数f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2，求实数a的取值范围？

若0＜x＜1，a＞0，b＞0．求证：

a2

x

+

b2

1-x

≥（a+b）²．

已知函数f（x）=（x²+ax）e^-x，且f（x）在x=-1处的切线与直线为ex+y=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≠0时，都有e^1+xf（x）＜mx2e 

1

z

+e成立，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（1-x）≤2；
（Ⅱ）若a＜0，求证：f（ax）-af（x）≥f（a）．

已知函数f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
（1）求它的振幅、周期、初相；
（2）在所给坐标系中用五点法作出它在区间[

π

8

，

9π

8

]上的图象．
（3）说明y=sinx的图象可由y=

2

sin（2x+

π

4

）的图象经过怎样的变换而得到．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+1，求数列{a_n}的通项公式，并判断{a_n}是不是等差数列．

PM2.5是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，北方城市环保局从该市市区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取20天的数据作为样本，发现空气质量为一级的有4天，为二级的有10天，超标的有6天．
（1）从这20天的日均PM2.5监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这20天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；
（3）根据这20天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

设a∈R，e为自然对数的底数，函数f（x）=

(-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a)•ex，x≤1 [(6a-1)lnx+x+ a x +15a]•e，x＞1

（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在x=e处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜-1时，是否存在a使f（x）在[a，-a]上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

在直角坐标系xOy中，曲线C_l的参数方程为

x= 2 cosα y= 2 sinα

（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=4

2

（Ⅰ）求曲线C_l的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．