在△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，证明下面问题．
（Ⅰ）

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

；
（Ⅱ）

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

．

角A、B、C为△ABC的三个内角，且角B满足sinB+cos（B+

π

6

）=

3

2

．
（1）求角B的值；
（2）若sinA+sinC＞k恒成立，试求实数k的取值范围．

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，且a≤-2．
证明：对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，a、b、c分别为△ABC所对的边．求证：

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

（注：可以用分析法证明）

已知函数f（x）=4cosx•sin（x+

π

6

）+a的最大值为2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．

高三年级某班的所有考生全部参加了“语文”和“数学”两个科目的学业水平考试．其中“语文”和“数学”的两科考试成绩的数据统计如下图（按[0，10），[10，20），…，[80，90），[90，100）分组）所示，其中“数学”科目的成绩在[70，80），分数段的考生有16人．
（1）求该班考生“语文”科目成绩在[90，100），分数段的人数；
（2）根据数据合理估计该班考生“数学”科目成绩的平均分，并说明理由；
（3）若要从“数学”科目分数在[50，60）和[90，100）之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[50，60）之间的概率．

已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（-

π

3

，0）．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．

（1）用综合法证明：a+b+c≥

ab

+

bc

+

ca

（a，b，c∈R⁺）
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

为了了解调研高一年级新学生的智力水平，某校按l 0%的比例对700名高一学生按性别分别进行“智力评分”抽样检查，测得“智力评分”的频数分布表如表l，表2．
表1：男生“智力评分”频数分布表

智力评分	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
频数	2	5	14	13	4	2

表2：女生“智力评分”频数分布表

智力评分	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
频数	1	7	12	6	3	1

（Ⅰ）求高一的男生人数并完成如图所示的男生的频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该校学生“智力评分”在[165，180）之间的概率；
（Ⅲ）从样本中“智力评分”在[180，190）的男生中任选2人，求至少有1人“智力评分”在[185，190）之间的概率．

如图1，在边长为3的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=

3 2

2

．
（Ⅰ）证明：DE∥平面BCF；
（Ⅱ）证明：CF⊥平面ABF；
（Ⅲ）当AD=

2

3

AB时，求三棱锥F-DEG的体积V_D-EFG．