已知函数f（x）=cos（

π

4

x-

π

3

）+2cos²

π

8

x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若f（a）=1+

3

2

，a∈（0，5），A=

π

3

，b=1，求边c的值．

已知函数f（x）=-x³+x²+bx，g（x）=alnx+x（a≠0）
（1）若函数f（x）存在极值点，求实数b的取值范围；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）当b=0且a＞0时，令F(x)=

f(x)，x＜1 g(x)-x，x≥1

，P（x₁，F（x₁）），Q（x₂，F（x₂））为曲线y=F（x）上的两动点，O为坐标原点，能否使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，点（1，

3

2

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C的两条切线交于点M（4，t），其中t∈R，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的点（x₀，y₀）处的椭圆切线方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，证明直线AB恒过椭圆的右焦点F₂；
（Ⅲ）试探究

1

|AF2|

+

1

|BF2|

的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A、B两点．
（Ⅰ）如果点A的纵坐标为

3

5

，点B的横坐标为

5

13

，求cos（α-β）；
（Ⅱ）已知点C（2

3

，-2），

OA

•

OC

=2

2

，求α．

已知

AC

=(cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

），

BC

=(cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

)，设f（x）=

AC

•

BC

（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）设关于x的方程f（x）=a在[-

π

2

，

π

2

]有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

已知向量

m

=(cos θ，sin θ)和

n

=(

2

-sin θ，cos θ)，θ∈（π，2π），且|

m

+

n

|=

8 2

5

，求cos(

θ

2

+

π

8

)的值．

第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京召开．为了做好两会期间的接待服务工作，中国人民大学学生实践活动中心从7名学生会干部（其中男生4人，女生3人）中选3人参加两会的志愿者服务活动．
（1）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望：
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米-75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，如图是某市3月1日到15日每天的PM2.5日均值监测数据．某人随机选择3月1日到3月14日中的某一天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量为一级的概率：
（Ⅱ）由图判断从哪天开始连续三天PM2.5的日均值方差最大？（可直接给出结论，不要求证明）
（Ⅲ）求此人在该市停留期间只有1天空气质量超标的概率．

设四面体的全面积为S，四个面面积最大者记为S₁，求

S

S1

的取值范围．

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx）．设函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及此时x的取值集合；
（Ⅱ）在角A为锐角的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f（A）=6且△ABC的面积为3，b+c=2+3

2

，求a的值．