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已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点B（0，

3

）为短轴的一个端点，∠OF₂B=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F₂，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、AF分别交直线x=3于点M、N，线段MN的中点为P，记直线PF₂的斜率为k′．求证：k•k′为定值．

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如图，甲船以每小时15

2

海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B₁处，此时两船相距20海里，当甲船航行40分钟到达A₂处时，乙船航行到甲船的南偏西45°方向的B₂处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？

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已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，且点A（x₀，2）在抛物线上，|AF₂|=2．
（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）如图点B位于椭圆短轴的下端点，M，N分别是椭圆和圆x²+y²=1位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BN斜率的2倍．证明：直线MN过定点并求出其坐标．

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已知函数f（x）=lnx，g（x）=

3

2

-

a

x

，（a为常数）
（1）若方程e^2f（x）=g（x）在区间[

1

2

，1]上有解，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，证明不等式g（x）＜f（x）＜x-2在[4，+∞）上恒成立；
（3）证明：

5n

4

+

1

60

＜

n

k=1

[2f(2k+1)-f(k+1)-f(k)]＜2n+1，（n∈N^*）（参考数据：ln2≈0.693）

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