在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO
（Ⅰ）求证直线A、B恒过定点（0，1）
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

已知f（α）=

cos( π 2 +α)•cos(2π-α)•sin(-α+ 3π 2 )

sin(-π-α)•sin( 3π 2 +α)

．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cos（α-

3π

2

）=

1

5

，求f（α）的值．

当0＜x＜

π

2

时，证明：

2x

π

x＜sinx＜x．

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）写出f（x）在[-3，3]上的表达式．

2013年11月，青岛发生输油管道爆炸事故造成胶州湾局部污染．国家海洋局用分层抽样的方法从国家环保专家、海洋生物专家、油气专家三类专家库中抽取若干人组成研究小组赴泄油海域工作，有关数据见表1（单位：人）
表一

	相关人员数	抽取人数
环保专家	24	X
海洋生物专家	48	y
油气专家	72	6

表二

	重度污染	轻度污染	合计
身体健康	30	A	50
身体不健康	B	10	60
合计	C	D	E

海洋生物专家为了检测该地受污染后对海洋动物身体健康的影响，随机选取了110只海豚进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表，如表2．
（Ⅰ）求研究小组的总人数；
（Ⅱ）写出表2中A，B，C，D，E的值，并判断有多大的把握认为海豚身体不健康与受到污染有关；
（Ⅲ）若从研究小组的环保专家和海洋生物专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为环保专家的概率．附：①K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d②

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0），x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S（3，2

3

），赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）设∠PMN=θ，试用θ表示赛道MNP的长；            
（3）当θ为何值时，折线段赛道MNP最长？

已知函数f（x）=

3-ax a-1

（a≠1）
（1）若a＞0，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

已知曲线Γ：y²=4x，直线l经过点（0，2）且其一个方向向量为

d

=（1，k）．
（1）若曲线Γ的焦点F在直线l上，求实数k的值；
（2）当k=-1时，直线l与曲线Γ相交于A、B两点，求|AB|的值；
（3）当k（k＞0）变化且直线l与曲线Γ有公共点时，是否存在这样的实数a，使得点P（a，0）关于直线l的对称点Q（x₀，y₀）落在曲线Γ的准线上．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
（1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
（2）?x∈{x|x＞0}，x+

1

x

≥2；
（3）?x∈{x|x∈Z}，log₂x＞2．

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求证炮发射的高度不会超过5千米；
（2）求炮的最大射程．