已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出两种鱼各1000只，给每只鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机的捕出1000只鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中．这样的记录做了10次，并将记录获取的数据做成以下的茎叶图（图1）．

（Ⅰ）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量；
（Ⅱ）为了估计池塘中鱼的总重量，现从中按照（Ⅰ）的比例对100条鱼进行称重，据称重鱼的重量介于（0，4.5]（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0，0.5）、第二组[0.5，1）；…，第九组[4，4.5）．图2是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
①估计池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克）的条数；
②若第二组、第三组、第四组鱼的条数依次成公差为7的等差数列，请将频率分布直方图补充完整；
③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数、中位数及估计池塘中鱼的总重量；
（Ⅲ）假设随机地从池塘逐只有放回的捕出5只鱼中出现鲤鱼的次数为ξ，求ξ的数学期望．

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求

PM

•

PN

的最小值．

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），求：
（1）当

a

∥

b

时，求x的值；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|，x∈[0，

π

2

]，最小值是-

3

2

，求实数λ．

某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率；
（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为

100+110

2

=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．
（Ⅰ）设PD与平面PAC所成的角为α，二面角P-CD-A的大小为β，求证：tanα=cosβ．
（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点F（与A，B两点不重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．

如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点．
（Ⅰ）证明：A₁B∥平面C₁AD；
（Ⅱ）若在三棱柱ABC-A₁B₁C₁内部（含表面）随机投放一个点P，求点P落在三棱锥C₁-A₁AD内部（含表面）的概率．

甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的

1

4

倍，固定成本为a元．
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？

A、B两站相距7.2km，一辆列车从A站开往B站，列车开出t₁ s后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s，到C点速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t₂ s后，速度为（24-1.2t）m/s．在B点恰好停车，试求：
（1）C，D间的距离；
（2）电车从A站到B站所需的时间．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为2

2

，离心率为

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点B为椭圆C的下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（异于上顶点），且AB中点E在直线y=x上，
（ⅰ）求直线AB的方程；
（ⅱ）点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，若直线AP，BP分别交直线y=x与M，N两点，证明：

OM

•

ON

为定值．

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2

3

，c=4，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

，求△ABC的面积S．